8.6 trapesium

8.6 Trapesium


Mengulang kembali bahwa trapezium adalah sebuah segiempat dengan tepat satu pasang sisi yang sejajar. Satu contoh trapezium adalah atap rumah. Pada pelajaran ini, kita akan belajar teorema tentang trapesium yang dapat digunakan dalam penaksiran ongkos gagasan sebuah proyek.

Teorema 8-12

Garis yang menhubungkan titik tengah dari dua sisi yang tidak sejajar pada trapezium adalah sejajar pada dua dasar/ sisi yang lain dan mempunyai panjang yang sama dengan setengah jumlah dari panjang dasarnya.



Definsi 8.6

Trapezium sama kaki adalah trapezium dengan sisi yang tidak sejajar kongruen



Teorema 8-13

Pada sebuah trapezium sama kaki, sudut dasarnya?kakinya kongruen dan diagonalnya kongruen.

8-4 Teorema Garis Tengah

Tim peneliti perlu untuk menemukan jarak melewati danau yang luas. Tim memilih sembarang tititk dari titik tersebut mereka mengukur ke sisis yang lain dari danau. Mereka menentukan 2 titik yang setengah jalan antara tepi danau dan tititk yang mereka pilih. Jarak antara 2 titik tengah ini akan menjadi satu setengah jarak melewati danau. Teori dari pelajaran ini akan menjelaskan mengapa.


Teorema 8.7

Teorema Ruas Garis Tengah

Sebuah ruas garis gabungan titik tengah dari 2 sisi dari segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya setengah dari sisi tersebut.



Bukti

Diketahui : segitiga ABC dengan x titik tengah AB, y titik tengah AC

Buktikan XY // BC dan XY = ½ BC!

Penjelasan

Gambar garis l melewati C dan sejajar AB kemudian perpanjang XY sampai memotong l pada Z, tunjukan bahwa terbentuk dua segitiga kongruen, kemudian tunjukan bahwa BCZX adalah jajar genjang!

Pernyataan dan Alasan

1. X adalah tititk tengah AB, Y adalah tititk tengah AC (diketahui)

2. Garis l digambar melewati C dan sejajar AB dan Xydiperpanjang untuk membentuk segitiga CYZ (dibuat)

3. AY= YC (definisi titik tengah)

4. Sudut 1 ≅ sudut 2 (jika dua garis sejajar maka sudut dalam berseberangannya kongruen)

5. Sudut 3 ≅ sudut 4 (sudut bertolak belakang)

6. ∆AXY ≅ ∆CZY (ASA postulat)

7. XY = ZY (CPCTC)

8. Y titik tengah XZ (definisi titik tengah)

9. XY = ½ XZ (aljabar)

10. CZ = AX (pernyataan 6 dan CPCTC)

11. AX = XB (definisi titik tengah)

12. CZ = XB ; CZ // AB (sifat transitif;pernyataan 2)

13. BCZX adalah jajar genjang (jika segi empat memiliki satu pasang sisi berlawanan yang sejajar dan kongruen maka disebut jajar genjang)

14. XY//BC (DEFINISI JAJAR GENJANG)

15. XZ≅BC (sisi yang berlawanan dari jajar genjang kongruen)

16. XY = ½ BC (substitusi pernyataan 15 pada 9)

8-7 Sudut dari Segi Banyak

Aktivitas pada halaman 280 menyuruh kamu untuk mencari kombinasi dari segi banyak beraturan sehingga susunannya tepat di sekitar titik P. Ukuran dari sudut puncak segi banyak menentukan apakah susunan itu benar-benar tepat atau tidak. Gambar dapat dilihat pada buku cetak!


Kita pertama menanyakan berapa jumlah ukuran sudut dari kedua segi banyak? Untuk menjawab pertanyaan ini kita menggambar diagonal dari suatu puncak segi banyak supaya membentuk segitiga. ( Gambar dapat dilihat di buku cetak)


Dalam setiap permasalahan di atas jumlah ukuran sudut segi banyak merupakan jumlah ukuran sudut segitiga sesuai dengan tabel berikut:

Segi banyak      Jumlah sisi    Jumlah Segitiga   Jumlah Ukuran sudut
Segiempat               4                    2                     2(180) = 360
Segilima                  5                    3                     3(180) = 540
Segienam                6                    4                     4(180) = 720
     :
     :
Segi n                     n                   n-2                    (n-2)180


Dari tabel di atas diperoleh 2 teorema sebagai berikut
Teorema 8-14
Jumlah ukuran sudut dari sebuah segi banyak adalah (n-2)180.

Teorema 8-15
Ukuran sudut dari segi banyak beraturan dengan n sisi adalah (n-2)/n . 180


Pikirkan sebuah segilima . Sebuah sudut luar di tiap puncak telah dinamai seperti pada gambar (Gambar dapat dilihat di buku cetak). Jika kita memotong sudut luar ini dan menyusunnya melingkar pada sebuah titik maka diperoleh jumlah sudutnya 360 sesuai dengan teorema 8-16.

Teorema 8-16
Jumlah ukuran sudut luar dari sebuah segi banyak yang terletak pada masing-masing puncak adalah 360.

8-5 Persegi Panjang, Belah Ketupat, dan Persegi

Mengulangi definisi persegi panjang, belah ketupat, dan persegi bahwa mereka semua adalah tipe khusus dari jajar genjang. Pada pelajaran ini kita belajar bagaimana ketiga tipe dari jajar genjng ini ditentukan oleh diagonalnya. Jajar genjang ini adalah merupakan persegi panjang.

Gambar dapat dilihat pada buku cetak halaman


Pengamatan diatas mendukung teorema berikut :
Teorema 8-9
Sebuah jajar genjang adalah sebuah persegi panjang jika dan hanya jika diagonalnya kongruen.

Untuk membuktikannya, kita harus membuktikan dua hal yaitu :
1. Jika diagonal dari jajar genjang kongruen, maka jajar genjang adalah persegi panjang.
2. Jika jajar genjang adalah persegi panjang, maka diagonalnya kongruen.

Bukti :
Diketauhui : ABCD jajar genjang.
                   AC kongruen BD.
Buktikan ABCD adalah persegi panjang.

Penjelasan:
Buktikan bahwa segitiga ABD kongruen dengan segitiga BAC dan bahwa < B kongruen dan berpelurus.Begitu pula untuk < C dan < D.

        Pernyataan                                                  Alasan
1.AC kongruen AB                                           diketahui

2.AB kongruen AB                                           berhimpit

3. AD kongruen BC                                     definisi jajar genjang

Jadi, segitiga ABD dan segitiga BAC kongruen (SSS postulate), akibatnya